山東大學(xué)八大教授？
“八大教授”是山東大學(xué)歷史學(xué)科永恒的光榮。20世紀(jì)50年代，八位著名的歷史學(xué)專(zhuān)家楊向奎教授、童書(shū)業(yè)教授、黃云眉教授、張維華教授、陳同燮教授、鄭鶴聲教授、王仲犖教授、趙儷生教授甫聚山東大學(xué)歷史系，即以中國(guó)古史分期、中國(guó)農(nóng)民戰(zhàn)爭(zhēng)史、中國(guó)資本主義萌芽等重大學(xué)術(shù)話(huà)題開(kāi)端發(fā)皇，因切中時(shí)代變遷而引領(lǐng)中國(guó)學(xué)術(shù)潮流，并由此形成“獨(dú)斷之學(xué)”與“考索之功”并重的學(xué)術(shù)家風(fēng)，奠定了山東大學(xué)史學(xué)發(fā)展之長(zhǎng)久格局。
上庠大木，蔭綠千秋，“八馬同槽”遂成士林傳奇，山東大學(xué)亦以“文史見(jiàn)長(zhǎng)”而譽(yù)薄海澨。
求 數(shù)學(xué)傳奇的讀后感
按遺囑分馬
筆者曾遇到過(guò)一些中小學(xué)生，還有幾位學(xué)生家長(zhǎng)，他們對(duì)一個(gè)古老數(shù)學(xué)故事的結(jié)局持異議，認(rèn)為答案不符合題目原意，甚至有同學(xué)說(shuō)這個(gè)故事是胡說(shuō)八道。
到底這個(gè)數(shù)學(xué)故事合不合理？故事中的題目有沒(méi)有解？應(yīng)該怎樣去解？
故事的題目叫做遺囑，是這樣說(shuō)的：
有一位老人，他有三個(gè)兒子和十七匹馬。他在臨終前對(duì)他的兒子們說(shuō)：“我已經(jīng)寫(xiě)好了遺囑，我把馬留給你們，你們一定要按我的要求去分?！?
老人去世后，三兄弟看到了遺囑。遺囑上寫(xiě)著：“我把十七匹馬全都留給我的三個(gè)兒子。長(zhǎng)子得一半，次子得三分之一，給幼子九分之一。不許流血，不許殺馬。你們必須遵從父親的遺愿！”
這三個(gè)兄弟迷惑不解。盡管他們?cè)趯W(xué)校里學(xué)習(xí)成績(jī)都不錯(cuò)，可是他們還是不會(huì)用17除以2、用17除以3、用17除以9，又不讓馬流血。于是他們就去請(qǐng)教當(dāng)?shù)匾晃还J(rèn)的智者。這位智者看了遺囑以后說(shuō)：“我借給你們一匹馬，去按你們父親的遺愿分吧！”
到這兒，這個(gè)故事就結(jié)束了。
不同意這種結(jié)果的同學(xué)的意見(jiàn)在于：遺囑所說(shuō)的一半、三分之一和九分之一，都是相對(duì)于17匹馬來(lái)說(shuō)的，并不是對(duì)18匹馬來(lái)說(shuō)的，因而智者把自己的一匹馬借給三兄弟再按一半、三分之一和九分之一去分，不符合遺囑原意。
筆者認(rèn)為，這部分同學(xué)之所以不同意故事的結(jié)局，是由于對(duì)遺囑的要求掌握得不夠全面造成的。筆者要說(shuō)明，智者的辦法確實(shí)是個(gè)好辦法。遺囑沒(méi)有錯(cuò)；智者的辦法也不光是一個(gè)智力游戲，在數(shù)學(xué)上也是完全合理的。
為此，我們先指出一個(gè)事實(shí)，即：
1/2+1/3+1/9=17/18<1
這就是說(shuō)：假設(shè)姑且不考慮老人關(guān)于不許流血、不許殺馬的要求，硬把17匹馬的一半、三分之一和九分之一分給三個(gè)兄弟，那么，并沒(méi)有把17匹馬全部分完，還剩下17匹馬的1/18沒(méi)有分。
于是我們要考慮一個(gè)問(wèn)題：老人的遺囑是只把17匹馬的一半、三分之一和九分之一分給三個(gè)兒子嗎？如果是，那么剩下的17/18匹給誰(shuí)呢？
按遺囑中關(guān)于把17匹馬全部留給三個(gè)兒子的要求，剩下的這些馬還應(yīng)繼續(xù)分給三兄弟，而且還應(yīng)該給老大一半，給老二三分之一，給老三九分之一，而且任何有限次總也無(wú)法把17匹馬全部分完。
仔細(xì)研究老人的遺囑可以發(fā)現(xiàn)，老人的遺囑實(shí)際上包含三點(diǎn)要求：第一，把17匹馬全部都分給三個(gè)兒子；第二，每給老大一半，就要給老二三分之一、給老三九分之一，所以實(shí)際上是要按照1/2∶1/3∶1/9這樣的比例進(jìn)行分配，而不是只把17匹馬的1/2，1/3，1/9分給三個(gè)兒子；第三，不許讓馬流血。
一個(gè)分配方案，只要滿(mǎn)足上述條件，就是符合遺囑要求的方案。
老人自己家有17匹馬，加上智者借給的一匹，一共十八匹馬。按18匹馬的1/2， 1/3，1/9分給三個(gè)兄弟，三個(gè)兄弟所得的馬的匹數(shù)當(dāng)然符合1/2∶1/3∶1/9的比例（符合上述第二條要求），而三個(gè)兄弟分別得到的9匹、6匹和2匹之和，恰好是17匹（符合上述第一條要求），又沒(méi)讓馬流血（符合上述第三條要求），所以智者的辦法是完全符合老人遺囑要求的。
不借用智者的一匹馬也可以執(zhí)行老人的遺囑。為此，把1/2∶1/3∶1/9化簡(jiǎn)可得 9∶6∶2， 恰好有9+6+2=17?？梢?jiàn)，分給長(zhǎng)子9匹、次子6匹、幼子2匹，既恰好把17匹馬全都分完，又符合1/2∶1/3∶1/9的比例，又沒(méi)有讓馬流血，所以完全合乎老人遺囑的要求。
還用一種不借用智者的一匹馬也能執(zhí)行老人遺囑的辦法：
假如先不考慮老人關(guān)于不許殺馬的要求，而硬把17匹馬的一半、三分之一和九分之一分別分給三兄弟，完成第一次分配；第一次分配后剩下一部分馬，再把剩下的這部分馬的一半、三分之一和九分之一分別分給三兄弟，完成第二次分配；第二次分配后還剩下一部分，再把剩下的這部分馬的一半、三分之一和九分之一分別分給三兄弟，完成第三次分配。照此辦理，任何有限次分配總不能把17匹馬全部分完。而無(wú)窮無(wú)盡地分下去，三個(gè)兄弟所分得的馬各是一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)的和，或者說(shuō)各是一個(gè)無(wú)窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)的和。這三個(gè)無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的首項(xiàng)分別是17/2, 17/3,17/9，公比都是1/18,按照無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的各項(xiàng)和公式可以算出，三兄弟每人分得的馬分別為：9匹，6匹，2匹。
先進(jìn)行分析和計(jì)算，不要認(rèn)真地動(dòng)刀進(jìn)行一次又一次的分配，等到算出了三兄弟每人經(jīng)過(guò)無(wú)窮無(wú)盡、一次又一次的分配后所分別能夠得到的馬的總匹數(shù)后再統(tǒng)一一次性地分配，就既用不著殺馬，又恰好把17匹馬全部按老人的遺囑所規(guī)定的比例分完，不拆不扣地執(zhí)行了老人的遺囑。
從上面幾種解法來(lái)看，智者的辦法計(jì)算起來(lái)比較簡(jiǎn)單，因而確實(shí)稱(chēng)得上是一種十分巧妙的辦法。
分馬的故事，據(jù)說(shuō)已經(jīng)在全世界流傳上千年之久了。在流傳過(guò)程中有一些變化。例如，有一本書(shū)講到這個(gè)故事時(shí)，講的就是老人共有十九匹馬，遺囑要求分給長(zhǎng)子二分之一，分給次子四分之一，分給幼子五分之一。處理辦法也是從別人家借來(lái)一匹馬，分完再還給人家。
張景中老師所著《數(shù)學(xué)傳奇》一書(shū)指出，像上面這樣改變一下數(shù)字的，一共可以有七種變化，就是說(shuō)，這個(gè)故事可以有七種講法。如果在每一種講法中把馬的總匹數(shù)記為n ，把三兄弟分得的比例記為1/X∶1/Y∶1/Z， 則可以列表如下:
講法 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦
X 2 2 2 2 2 2 2
Y 3 3 3 3 4 4 4
Z 7 8 9 12 5 6 8
n 41 23 17 11 19 11 7
上述七種講法都是關(guān)于可以用“借來(lái)一匹馬,按規(guī)定的比例分配后恰好剩下一匹,再還回去”的辦法來(lái)解的。按本節(jié)前面所述,這些講法都是合理的。
筆者還聽(tīng)到過(guò)這樣一種講法:老人共有十七匹馬,臨終前他留下遺囑說(shuō)把一半給長(zhǎng)子;長(zhǎng)子取走后,把剩下的一半給次子；次子取走后把剩下的一半給幼子。 遺囑也要求把十七匹馬都分給三個(gè)兒子,而且不許殺馬.
答案說(shuō):先從鄰居家借來(lái)一匹馬,變成18匹,老大取走一半（即9匹），還剩9匹。然后再?gòu)泥従蛹医鑱?lái)一匹馬，變成10匹，老二取走一半（即5匹），還剩5匹。然后又從鄰居家借來(lái)一匹馬，變成6匹，老三取走一半（即3匹）。最后剩下3匹還給鄰居。
這種講法也很有趣，可是在筆者看來(lái)，這種講法在數(shù)學(xué)上就不如上面列出的七種講法那么合理了；雖然也把17匹馬都分給了三個(gè)兒子，而且沒(méi)有殺馬，但是三次借馬湊出三個(gè)二分之一，很難說(shuō)是符合遺囑要求的。因而這種講法只能算是一個(gè)智力游戲，算不上真正的數(shù)學(xué)。