2011奇數(shù)與偶數(shù)
通常我們所說的“單數(shù)”、“雙數(shù)”，也就是奇數(shù)和偶數(shù)，即±1，±3，±5，?是奇數(shù)，
0，±2，±4，±6，?是偶數(shù)．
用整除的術(shù)語來說就是：能被2 整除的整數(shù)是偶數(shù)，不能被2 整除的整數(shù)是奇數(shù)．通常
奇數(shù)可以表示為2k+1(或2k-1)的形式，其中k 為整數(shù)，偶數(shù)可以表示為2k 的形式，其中k
是整數(shù)．
奇數(shù)和偶數(shù)有以下基本性質(zhì)：
性質(zhì) 1 奇數(shù)≠偶數(shù)．
性質(zhì) 2 奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)．
性質(zhì) 3 奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)．
性質(zhì) 4 奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和是奇數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇數(shù)之和是偶數(shù)；任意有限個(gè)偶數(shù)之和為偶數(shù)．
性質(zhì) 5 若干個(gè)奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，偶數(shù)與整數(shù)的乘積是偶數(shù)．
性質(zhì) 6 如果若干個(gè)整數(shù)的乘積是奇數(shù)，那么其中每一個(gè)因子都是奇數(shù)；如果若干個(gè)整
數(shù)的乘積是偶數(shù)，那么其中至少有一個(gè)因子是偶數(shù)．
性質(zhì) 7 如果兩個(gè)整數(shù)的和(或差)是偶數(shù)，那么這兩個(gè)整數(shù)的奇偶性相同；如果兩個(gè)整數(shù)
的和(或差)是奇數(shù)，那么這兩個(gè)整數(shù)一定是一奇一偶．
性質(zhì) 8 兩個(gè)整數(shù)的和與差的奇偶性相同．
性質(zhì) 9 奇數(shù)的平方除以8 余1，偶數(shù)的平方是4 的倍數(shù).
性質(zhì) 1 至性質(zhì)6 的證明是很容易的，下面我們給出性質(zhì)7 至性質(zhì)9 的證明．
性質(zhì) 7 的證明設(shè)兩個(gè)整數(shù)的和是偶數(shù)，如果這兩個(gè)整數(shù)為一奇一偶，那么由性質(zhì)2 知，
它們的和為奇數(shù)，因此它們同為奇數(shù)或同為偶數(shù)．
同理兩個(gè)整數(shù)的和(或差)是奇數(shù)時(shí)，這兩個(gè)數(shù)一定是一奇一偶．
性質(zhì) 8 的證明設(shè)兩個(gè)整數(shù)為 X，y．因?yàn)?/p>
(x+y)+(x-y)=2x
為偶數(shù)，由性質(zhì) 7 便知，x+y 與x-y 同奇偶．
性質(zhì) 9 的證明若 x 是奇數(shù)，設(shè)x=2k+1，其中k 為整數(shù)，于是
x2=(2k+1)2=4k3+4k+1=4k(k+1)+1．
因?yàn)?k 與k+1 是兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，它們必定一奇一偶，從而它們的乘積是偶數(shù)．于是，
x2 除以8 余1．
若 y 是偶數(shù)，設(shè)y=2t，其中t 為整數(shù)，于是
y2=(2t)2=4t2
所以，y2 是4 的倍數(shù)．
例 1 在1，2，3，?，1998 中的每一個(gè)數(shù)的前面，任意添上一個(gè)“+”或“-”，那么最
后運(yùn)算的結(jié)果是奇數(shù)還是偶數(shù)？
解 由性質(zhì) 8 知，這最后運(yùn)算所得的奇偶性同
1+2+3+?+1998=999×1999
的奇偶性是相同的，即為奇數(shù)．
例 2 設(shè)1，2，3，?，9 的任一排列為a1，a2，?，a9.求證：(a1-1)(a2-2)?(a9-9)是一個(gè)
偶數(shù)．
證法 1 因?yàn)?/p>
(a1-1)+(a2-2)+(a3-3)+?+(a9-9)
＝(a1+a2+?+a9)-(1+2+?+9)
=0
是偶數(shù)，所以，(a1-1)，(a2-2)，?，(a9-9)這_______9 個(gè)數(shù)中必定有一個(gè)是偶數(shù)(否則，便得奇
數(shù)個(gè)(9 個(gè))奇數(shù)的和為偶數(shù)，與性質(zhì)4 矛盾)，從而由性質(zhì)5 知
(a1-1)(a2-2)?(a9-9)
是偶數(shù)．
證法 2 由于1，2，?，9 中只有4 個(gè)偶數(shù)，所以a1，a3，a5，a7，a9 中至少有一個(gè)是奇
數(shù)，于是，a1-1，a3-3，a5-5，a7-7，a9-9 至少有一個(gè)是偶數(shù)，從而(a1-1)(a2-2)?(a9-9)是偶數(shù)．
例 3 有n 個(gè)數(shù)x1，x2，?，xn，它們中的每一個(gè)數(shù)或者為1，或者為-1．如果
x1x2+x2x3+?+xn-1xn+xnx1=0，
求證：n 是4 的倍數(shù)．
證 我們先證明 n=2k 為偶數(shù)，再證k 也是偶數(shù)．
由于 x1，x2，?，xn。的絕對值都是1，所以，x1x2，x2x3，?，xnx1 的絕對值也都是1，
即它們或者為+1，或者為-1．設(shè)其中有k 個(gè)-1，由于總和為0，故+1 也有k 個(gè)，從而n=2k．
下面我們來考慮(x1x2)?(x2x3)?(xnx1)．一方面，有(x1x2)?(x2x3)?(xnx1)＝(-1)k，
另一方面，有
(x1x2)?(x2x3)?(xnx1)=(x1x2?xn)2=1．
所以(-1)k=1，故k 是偶數(shù)，從而n 是4 的倍數(shù)．
例 4 設(shè)a，b 是自然數(shù)，且滿足關(guān)系式
(11111+a)(11111-b)=123456789．
求證：a-b 是4 的倍數(shù)．
證 由已知條件可得 11111+a 與11111-b 均為奇數(shù)，所以a，b 均為偶數(shù)．又由已知條件
11111(a-b)=ab+2468，①
ab 是4 的倍數(shù)，2468=4×617 也是4 的倍數(shù)，所以11111×(a-b)是4 的倍數(shù)，故a-b 是
4 的倍數(shù).
例 5 某次數(shù)學(xué)競賽，共有40 道選擇題，規(guī)定答對一題得5 分，不答得1 分，答錯(cuò)倒扣
1 分．證明：不論有多少人參賽，全體學(xué)生的得分總和一定是偶數(shù)．
證 我們證明每一個(gè)學(xué)生的得分都是偶數(shù)．
設(shè)某個(gè)學(xué)生答對了 a 道題，答錯(cuò)了b 道題，那么還有40-a-b 道題沒有答．于是此人的
得分是
5a+(40-a-b)-b=4a-2b+40，
這是一個(gè)偶數(shù)．
所以，不論有多少人參賽，全體學(xué)生的得分總和一定是偶數(shù)．
例 6 證明15 塊4×1 的矩形骨牌和1 塊2×2 的正方形骨牌不能蓋住8×8 的正方形.
證 將 8×8 正方形的小方格用黑、白色涂色(如圖1－62)．每一塊4×1 骨牌不論怎么鋪
設(shè)都恰好蓋住兩個(gè)白格，因此15 塊4×1 的骨牌能蓋住偶數(shù)個(gè)白格．一塊2×2 的骨牌只能
蓋住一個(gè)白格或三個(gè)白格，總之能蓋住奇數(shù)個(gè)白格．于是15 塊4×1 骨牌和一塊2×2 骨牌
在圖上蓋住的白格是奇數(shù)個(gè)．事實(shí)上圖上的白格數(shù)恰為偶數(shù)個(gè)，故不能蓋住8×8 的正方形．
練習(xí)：
1．設(shè)有101 個(gè)自然數(shù)，記為a1，a2，?，a101．已知a1+2a2+3a3+?+100a100+101a101=s
是偶數(shù)，求證：a1+a3+a5+?+a99+a101 是偶數(shù)．
2．設(shè)x1，x2，?，x1998 都是+1 或者-1．求證：
x1+2x2+3x3+?+1998x1998≠0．
3．設(shè)x1，x2，?，xn(n＞4)為1 或-1，并且
x1x2x3x4+x2x3x4x5+?+xnx1x2x3=0．
求證：n 是4 的倍數(shù)．
4．(1)任意重排某一自然數(shù)的所有數(shù)字，求證：所得數(shù)與原數(shù)之和不等于99?9(共n 個(gè)
9，n 是奇數(shù))；
(2)重排某一數(shù)的所有數(shù)字，并把所得數(shù)與原數(shù)相加，求證：如果這個(gè)和等于1010，那
么原數(shù)能被10 整除．
5．(1)有n 個(gè)整數(shù)，其和為零，其積為n．求證：n 是4 的倍數(shù)；
(2)設(shè)n 是4 的倍數(shù)，求證：可以找到n 個(gè)整數(shù)，其積為n，其和為零．
6．7 個(gè)杯子杯口朝下放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)4 個(gè)杯子(杯口朝下的翻為杯口朝上，杯口
朝上的翻為杯口朝下)，問經(jīng)過若干次這樣的翻動，是否能把全部杯子翻成杯口朝上？
7．能否把1，1，2，2，3，3，4，4，5，5 這10 個(gè)數(shù)排成一行，使得兩個(gè)1 中間夾著
1 個(gè)數(shù)，兩個(gè)2 之間夾著2 個(gè)數(shù)，?，兩個(gè)5 之間夾著5 個(gè)數(shù)？
奇數(shù)和偶數(shù)
時(shí)間: 09:01 點(diǎn)擊: 620次
整數(shù)中，能被2整除的數(shù)是偶數(shù)，反之是奇數(shù)，偶數(shù)可用 2k表示 ，奇數(shù)可用2k+1表示，這里k是整數(shù) . 關(guān)于奇數(shù)和偶數(shù)，有下面的性質(zhì)：（1）奇數(shù)不會同時(shí)是偶數(shù)；兩個(gè)連續(xù)整數(shù)中必是一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)；（2）奇數(shù)個(gè)奇數(shù)和是奇數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù)；任意多個(gè)偶數(shù)的和是偶
整數(shù)中，能被2整除的數(shù)是偶數(shù)，反之是奇數(shù)，偶數(shù)可用 2k表示 ，奇數(shù)可用2k+1表示，這里k是整數(shù) .
關(guān)于奇數(shù)和偶數(shù)，有下面的性質(zhì)：
（1）奇數(shù)不會同時(shí)是偶數(shù)；兩個(gè)連續(xù)整數(shù)中必是一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)；
（2）奇數(shù)個(gè)奇數(shù)和是奇數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù)；任意多個(gè)偶數(shù)的和是偶數(shù)；
（3）兩個(gè)奇（偶）數(shù)的差是偶數(shù)；一個(gè)偶數(shù)與一個(gè)奇數(shù)的差是奇數(shù)；
（4）若a、 b為整數(shù)，則a+b與a-b有相同的奇數(shù)偶；
（5）n個(gè)奇數(shù)的乘積是奇數(shù)， n個(gè)偶數(shù)的乘積是2n的倍數(shù)；順式中有一個(gè)是偶數(shù)，則乘積是偶數(shù) .
以上性質(zhì)簡單明了，解題時(shí)如果能巧妙應(yīng)用，常?？梢猿銎嬷苿?
1. 代數(shù)式中的奇偶問題
例1（第2屆 “華羅庚金杯”決賽題）下列每個(gè)算式中，最少有一個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù)，那么這 12個(gè)整數(shù)中，至少有幾個(gè)偶數(shù)？
□+□=□ ， □-□=□，
□×□ ＝□ □÷□＝□.
解 因?yàn)榧臃ê蜏p法算式中至少各有一個(gè)偶數(shù)，乘法和除法算式中至少各有二個(gè)偶數(shù)，故這 12個(gè)整數(shù)中至少有六個(gè)偶數(shù).
例2 （第 1屆“祖沖之杯”數(shù)學(xué)邀請賽）已知 n是偶數(shù)，m是奇數(shù)，方程組
是整數(shù)，那么
（A）p、 q都是偶數(shù). （B）p、q都是奇數(shù) .
（C）p是偶數(shù)， q是奇數(shù) （D）p是奇數(shù)， q是偶數(shù)
分析 由于 1988y是偶數(shù)，由第一方程知p=x=n+1988y，所以 p是偶數(shù)，將其代入第二方程中，于是11x也為偶數(shù)，從而 27y=m-11x為奇數(shù)，所以是y=q奇數(shù)，應(yīng)選（ C）
例3 在 1，2，3…， 1992前面任意添上一個(gè)正號和負(fù)號，它們的代數(shù)和是奇數(shù)還是偶數(shù).
分析 因?yàn)閮蓚€(gè)整數(shù)之和與這兩個(gè)整數(shù)之差的奇偶性相同，所以在題設(shè)數(shù)字前面都添上正號和負(fù)號不改變其奇偶性，而 1+2+3+…+1992= =996×1993為偶數(shù) 于是題設(shè)的代數(shù)和應(yīng)為偶數(shù).
2. 與整除有關(guān)的問題
例4（首屆 “華羅庚金杯”決賽題）70個(gè)數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個(gè)數(shù)以外，每個(gè)數(shù)的 3倍都恰好等于它兩邊兩個(gè)數(shù)的和，這一行最左邊的幾個(gè)數(shù)是這樣的：0， 1，3，8， 21，….問最右邊的一個(gè)數(shù)被6除余幾？
解 設(shè) 70個(gè)數(shù)依次為a1,a2,a3據(jù)題意有
a1=0, 偶
a2=1 奇
a3=3a2-a1, 奇
a4=3a3-a2, 偶
a5=3a4-a3, 奇
a6=3a5-a4, 奇
………………
由此可知：
當(dāng)n被3除余1時(shí)， an是偶數(shù)；
當(dāng)n被3除余 0時(shí)，或余2時(shí)，an是奇數(shù)，顯然 a70是3k+1型偶數(shù)，所以 k必須是奇數(shù)，令k=2n+1，則
a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4.
解 設(shè)十位數(shù)，五個(gè)奇數(shù)位數(shù)字之和為 a，五個(gè)偶數(shù)位之和為b(10≤a≤35,10≤b≤35)，則 a+b=45，又十位數(shù)能被11整除，則a-b應(yīng)為 0，11，22（為什么？） .由于a+b與a-b有相同的奇偶性，因此 a-b=11即a=28，b=17.
要排最大的十位數(shù)，妨先排出前四位數(shù)9876，由于偶數(shù)位五個(gè)數(shù)字之和是 17，現(xiàn)在8+6=14，偶數(shù)位其它三個(gè)數(shù)字之和只能是 17-14=3，這三個(gè)數(shù)字只能是2，1， 0.
故所求的十位數(shù)是9876524130.
例6（1990年日本高考數(shù)學(xué)試題）設(shè) a、b是自然數(shù)，且有關(guān)系式
123456789= （11111+a）（11111-b）， ①
證明a-b是 4的倍數(shù).
證明 由 ①式可知
11111 （a-b）=ab+4×617 ②
∵a ＞0,b＞0,∴a-b＞ 0
首先，易知a-b是偶數(shù)，否則 11111(a-b)是奇數(shù)，從而知ab是奇數(shù)，進(jìn)而知 a、b都是奇數(shù)，可知(11111+a)及 (11111-b)都為偶數(shù)，這與式①矛盾
其次，從a-b是偶數(shù)，根據(jù) ②可知ab是偶數(shù)，進(jìn)而易知a、 b皆為偶數(shù)，從而ab+4×617是4的倍數(shù)，由 ②知a-b是4的倍數(shù) .
3. 圖表中奇與偶
例7（第10屆全俄中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題）在 3×3的正方格（a）和（b）中，每格填 “+”或“-”的符號，然后每次將表中任一行或一列的各格全部變化試問重復(fù)若干次這樣的 “變號”程序后，能否從一張表變化為另一張表 .
解 按題設(shè)程序，這是不可能做到的，考察下面填法：
在黑板所示的2×2的正方形表格中，按題設(shè)程序“變號 ”，“+”號或者不變，或者變成兩個(gè).
表(a)中小正方形有四個(gè) “+”號，實(shí)施變號步驟后，“+”的個(gè)數(shù)仍是偶數(shù)；但表 (b)中小正方形“+”號的個(gè)數(shù)仍是奇數(shù)，故它不能從一個(gè)變化到另一個(gè) .
顯然，小正方形互變無法實(shí)現(xiàn)，3×3的大正方形的互變，更無法實(shí)現(xiàn) .
例8（第36屆美國中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題）將奇正數(shù) 1，3，5， 7…排成五列，按右表的格式排下去，1985所在的那列，從左數(shù)起是第幾列？（此處無表）
解 由表格可知，每行有四個(gè)正奇數(shù)，而 1985=4×496+1，因此1985是第 497行的第一個(gè)數(shù)，又奇數(shù)行的第一個(gè)數(shù)位于第二列，偶數(shù)行的第一個(gè)數(shù)位于第四列，所以從左數(shù)起， 1985在第二列.
例9 如圖 3-1，設(shè)線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)中，一個(gè)是紅點(diǎn)，一個(gè)是綠點(diǎn)，在線段中插入 n個(gè)分點(diǎn)，把AB分成n+1個(gè)不重疊的小線段，如果這些小線段的兩個(gè)端點(diǎn)一個(gè)為紅點(diǎn)而另一個(gè)為綠點(diǎn)的話，則稱它為標(biāo)準(zhǔn)線段 .
證明 不論分點(diǎn)如何選取，標(biāo)準(zhǔn)線段的條路總是奇數(shù) .
分析 n個(gè)分點(diǎn)的位置無關(guān)緊要，感興趣的只是紅點(diǎn)還是綠點(diǎn)，現(xiàn)用 A、B分別表示紅、綠點(diǎn)；
不難看出：分點(diǎn)每改變一次字母就得到一條標(biāo)準(zhǔn)線段，并且從A點(diǎn)開始，每連續(xù)改變兩次又回到 A，現(xiàn)在最后一個(gè)字母是B，故共改變了奇數(shù)次，所以標(biāo)準(zhǔn)線段的條數(shù)必為奇數(shù) .
4. 有趣的應(yīng)用題
例 10（第 2屆“從小愛數(shù)學(xué)”賽題）圖 3-2是某一個(gè)淺湖泊的平面圖，圖中所有曲線都是湖岸.
（1）如果 P點(diǎn)在岸上，那么A點(diǎn)在岸上還是在水中？
（2）某人過這湖泊，他下水時(shí)脫鞋，上岸時(shí)穿鞋 .如果有一點(diǎn)B，他脫鞋垢次數(shù)與穿鞋的次數(shù)和是個(gè)奇數(shù)，那么 B點(diǎn)是在岸上還是在水中？說明理由.
解 （ 1）連結(jié)AP，顯然與曲線的交點(diǎn)數(shù)是個(gè)奇數(shù)，因而 A點(diǎn)必在水中.
（2）從水中經(jīng)過一次陸地到水中，脫鞋與穿鞋的次數(shù)和為 2，由于 A點(diǎn)在水中，氫不管怎樣走，走在水中時(shí)，脫鞋、穿鞋的次數(shù)的和總是偶數(shù)，可見 B點(diǎn)必在岸上.
例11 書店有單價(jià)為 10分，15分，25分， 40分的四種賀年片，小華花了幾張一元錢，正好買了30張，其中某兩種各 5張，另兩種各10張，問小華買賀年片花去多少錢？
分析 設(shè)買的賀年片分別為 a、b、c、 d（張），用去k張1元的人民幣，依題意有
10a+15b+25c+40d=100k,(k 為正整數(shù))
即 2a+3b+5c+8d=20k
顯然b、c有相同的奇偶性 .
若同為偶數(shù)，b-c=10 和 a=b=5， 不是整數(shù)；
若同為奇數(shù)，b=c=5和 a=d=10,k=7.
例12 一個(gè)矩形展覽廳被縱橫垂直相交的墻壁隔成若干行、若干列的小矩形展覽室，每相鄰兩室間都有若干方形門或圓形門相通，僅在進(jìn)出展覽廳的出入口處有若干門與廳外相通，試證明：任何一個(gè)參觀者選擇任何路線任意參觀若干個(gè)展覽室（可重復(fù)）之后回到廳外，他經(jīng)過的方形門的次數(shù)與圓形門的次數(shù)（重復(fù)經(jīng)過的重復(fù)計(jì)算）之差總是偶數(shù) .
證明 給出入口處展覽室記 “+”號，凡與“+”相鄰的展覽室記“-”號，凡與 “-”號相鄰的展覽室都記“+”號，如此則相鄰兩室的 “+”、“-”號都不同.
一參觀者從出入口處的“+”號室進(jìn)入廳內(nèi)，走過若干個(gè)展覽室又回到入口處的 “+”號室，他的路線是+-+-…+-+-，即從 “+”號室起到“+”號室止，中間“-”、 “+”號室為n+1（重復(fù)經(jīng)過的重復(fù)計(jì)算），即共走了 2n+1室，于是參觀者從廳外進(jìn)去參觀后又回到廳外共走過了2n+2個(gè)門（包括進(jìn)出出入口門各 1次）.設(shè)其經(jīng)過的方形門的次數(shù)是r次，經(jīng)過圓形門的次數(shù)是 s，則s+r=2n+2為偶數(shù)，故r-s也為偶數(shù)，所以命題結(jié)論成立 .
例13 有一無窮小數(shù) A=0.a1a2a3…anan+1an+2…其中 ai(i=1,2)是數(shù)字，并且a1是奇數(shù)， a2是偶數(shù)，a3等于 a1+a2的個(gè)位數(shù)…， an+2是an+an+1(n=1,2…,)的個(gè)位數(shù)，證明 A是有理數(shù).
證明 為證明 A是有理數(shù)，只要證明A是循環(huán)小數(shù)即可，由題意知無窮小數(shù) A的每一個(gè)數(shù)字是由這個(gè)數(shù)字的前面的兩位數(shù)字決定的，若某兩個(gè)數(shù)字ab重復(fù)出現(xiàn)了，即 0.…ab…ab…此小數(shù)就開始循環(huán).
而無窮小數(shù)A的各位數(shù)字有如下的奇偶性規(guī)律：
A=0. 奇偶奇奇偶奇奇偶奇……
又a是奇數(shù)可取 1，3，5， 7，9；
b 是偶數(shù)可取0，2， 4，6，8.
所以非負(fù)有序?qū)崝?shù)對一共只有25個(gè)是不相同的，在構(gòu)成 A的前25個(gè)奇偶數(shù)組中，至少出現(xiàn)兩組是完全相同的，這就證得 A是一循環(huán)小數(shù)，即A